Differential Equations

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http://www.intmath.com/differential-equations/1-solving-des.php

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dx    – this means “an infinitely small change in x”

dθ    – this means “an infinitely small change in θ”

dt    – this means “an infinitely small change in t”

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Equação diferencial ordinária

Chama-se equação diferencial toda a equação que envolve uma função desconhecida e pelo menos uma das suas derivadas.

Se a função desconhecida é função de uma única variável independente, a equação é denominada equação diferencial ordinária.

Chama-se ordem da equação diferencial à ordem da mais alta derivada que nela intervém.

Exemplos

Numa equação diferencial ordinária a incógnita é uma função real de variável real.

Em geralesta incógnita em vez de figurar como “f(x)”, aparece simplificada para “y”.

Assim, os exemplos anteriores podem ser reescritos de uma forma mais simples :

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Chamam-se condições iniciais as condições relativas à função incógnita e suas derivadas
dadas para o mesmo valor da variável independente.

Chamam-se condições de fronteira as condições relativas à função incógnita e suas derivadas
dadas para valores distintos da variável independente.

Nota: A constante C deve-se à primitivação que foi necessário fazer. É evidente que se a equação
envolvesse derivadas até uma certa ordem n, seria necessário primitivar n vezes, logo a solução

geral envolveria n constantes arbitrárias. Neste caso, para obter uma solução particular seria
necessário conhecer n condições.

Exemplo : Resolva a equação diferencial: y” − 2 = 0
e indique a solução da equação que satisfaz as condições y(1) = 0 e y‘ (0) = 2 .

 

y” − 2 = 0    ⇔   y” = 2    ⇔    y‘ = 2x + C1     ⇔    y = x² +C1 x +C2.

y , vem afetada de duas constantes arbitrárias C1 e C2 representando por

isso uma família de funções (soluções). Diz-se, por isso que

y( x) = x² + C1 x +C2  é a solução geral da equação diferencial.

y(1) = 0   ⇔   1+ C1+ C2= 0 . Como ( ) y′ (x) = 2x +C1,

y‘ (0) = 2  ⇔   C1= 2.

Logo y(x) = x² + 2x − 3 é a solução particular desejada.

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